Pisteistä Pythagoraan kolmioihin

[viesti Survo-keskustelupalstalla (2001-2013)]

Anna-Riitta (Niskanen) esitti joitain aikoja sitten toivomuksen, että
hajontakuvissa XY-pisteiden väritystä saisi säädeltyä jonkin muuttujan
Z arvojen mukaisesti. Tätähän on tehty jo aikaisemminkin kuvia
kerrostamalla, mutta onhan mukavampaa, jos tehtävästä selvitään suoraan.

Niinpä toteutin toiveen välittömästi eli jo versiosta 2.26 on voimassa:

Hajontakuvissa havaintopisteiden väri määrätään havaintokohtaisesti
täsmennyksellä POINT_COLOR=<värimuuttuja> 
Värimuuttujan tulee olla kokonaislukuarvoinen ja sen kullekin arvolle n
tulee määritellä väri CMYK-järjestelmän mukaisesti täsmennyksellä
FILL(n)=c,m,y,k.                                         (POINTC?)

Ihan omasta takaa (ja juteltuani Kimmon kanssa) päädyin lisäämään
sellaisenkin piirteen, että myös pisteen tyyppiä kuvassa saattaa
vaihdella jonkin muuttujan arvojen perusteella. POINT-täsmennys on
kyllä tarjonnut rajoitetusti tämänkin keinon. Uusi POINT_TYPE-täsmennys
tekee (versiosta 2.28 lähtien) seuraavaa:

Hajontakuvissa havaintopisteen tyyppi määrätään havaintokohtaisesti
täsmennyksellä POINT_TYPE=<tyyppimuuttuja>, jossa mahdollisia ovat
muuttujan arvot 0,1,...,11 (POINTT?).

Koetellakseni erityisesti POINT_COLOR-täsmennystä halusin saada aikaan
Pythagoraan lukukolmikoita kuvaavan uudenlaisen graafisen esityksen.

Positiiviset kokonaisluvut X,Y,Z muodostavat tällaisen kolmikon, jos
niiden välillä vallitsee yhteys X^2+Y^2=Z^2 ja ne vastaavat
luonnollisesti sellaisen suorakulmaisen kolmion sivuja, joiden pituudet
ovat kokonaislukuja. Tunnetuin on tapaus X=3,Y=4,Z=5, mutta kolmikoita
on määrättömästi ja niitä on aikojen kuluessa tutkittu miltei
loputtomiin. Päädyinpä aluksi sukroon.

Pythagoraan lukukolmikoita (Pythagorean triples) havainnollistaa
graafisesti opetussukro
/P_TRIPLE  (mukana versiosta 2.28 lähtien)
jossa mm. käytetään hyväksi havaintokohtaista pisteen väritystä.
Pythagoralaiset pisteet "kukkivat punaisina vihreällä niityllä",
jolla muut pisteet ovat sitä punaisempia, mitä "pythagoralaisempia"
ne ovat. Mitä kauempana piste on tuosta ihanteesta, sitä enemmän se
kellastuu ja lopulta "hukkuu vihreään ruohikkoon".
Käyttäjällä on tilaisuus poimia hiirellä eri pisteitä ja sukro kertoo
niiden luonteesta.

Tästä asiasta ja sen omalaatuisista seurauksista olen laatinut raportin,
joka on sivulla
http://www.survo.fi/papers/pythagorean.pdf 

Juttu alkaa tuolla kukkakuvalla ja huomiota kiinnitetään siihen,
että tämä kuvaustapa tuo esiin ehkä hiukan yllättäviäkin piirteitä
pythagoralaisten pisteiden (X,Y) välisistä yhteyksistä. Pisteitä näet
yhdistävät erilaiset käppyrät. Näistä merkittävimpiä lienevät tietyt
hyperbelit, joiden varrella kaikki Pythagoraan pisteet sijaitsevat.

Nuo hyperbelit on selventävästi piirretty toiseen kuvaan ja ne voi
numeroida origosta lähtien indeksein C=1,2,3,...

Havaittuani, että kullakin hyperbelillä voi olla vain äärellisesti
punaisia kukkia, aloin laskea (tekemällä sukron) niiden lukumääriä N(C)
ja sain taulukon

C     1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ...
N(C)  2  4  6  6  6 12  6  8 10 12  6 18  6 12 18 10  6 20  6 ...

Katsomalla verkosta Neil Sloanen kokonaislukujonoja koskevaa
ensyklopediaa havaitsin, että luvut N(C)/2 näyttävät vastaavan lukujonoa
A078644 ja sen perusteella (tiettyjä jälkiä seuraten) sain arvatuksi po.
luvuille esityksen

N(C) = d(2*C^2)

missä d(n) on luvun n kaikkien tekijöiden lukumäärä.
Esimerkki (Survolla laskien):
Jos C=18 niin 2*C^2=648 ja 648(10:tekijät)=2^3*3^4.
Siten luvulla 648 on (3+1)*(4+1)=20 tekijää ja N(C)=20, kuten
taulukostakin näkyy.

Aluksi ei ollut harmaintakaan (tai tässä tapauksessa vihreintäkään)
aavistusta, miten tuon tuloksen vahvistaisi, mutta onneksi piirtämistä
helpottaakseni olin sattunut kirjoittamaan po. hyperbelien yhtälöt
sellaisessa parametrisessa asussa, joka johdatti lopulliseen
todistukseen.

Lähdin tämän jälkeen haeskelemaan verkosta, olisiko joku tehnyt samaa
ja löytyihän jotain hakusanoilla "Pythagorean" ja "hyperbolic". Tämän
vuoden helmikuussa amerikkalainen Darryl McCullough on julkaissut
vastaavia asioita ja vähän muutakin. Hänen todistuksensa lukujen N(C)
yleiselle lausekkeelle on kuitenkin (mielestäni) huomattavasti pitempi
ja hankalampi eikä hän ole huomannut saattaa tulosta yllä näkyvään
yksinkertaisimpaan muotoonsa.
Tämä McCulloughin artikkeli on oman juttuni yhtenä referenssinä ja
ja sitä pääsee katsomaan suoraan juttuni linkeistä.

Toivon, että tarinastani (josta puolet eli 4 viimeistä sivua on
kuvausta siitä, miten nuo kuvat ja laskelmat tehdään Survolla),
on iloa ainakin niille survoilijoille, jotka haluavat hyötyä
kuvaamistani uusista Survon ominaisuuksista.
Joka tapauksessa tämä on jälleen esimerkki kuvallisen esityksen
voimasta synnyttää oivalluksia.

-Seppo

Luettelo keskustelunaiheista

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!