Re: Heikki Hyhkön antama tehtävä Moodin vuosijuhlassa

[vastaus aiempaan viestiin]

Kirjoittaja: Heikki Hyhkö
Sähköposti:    hyhko'at'mappi.helsinki.fi
Päiväys: 6.2.2013 20:25

>"Jos noppaa heitetään kolme kertaa ja kahden suurimman pistemäärän
>summasta vähennetään se kolmas eli pienin pistemäärä, niin mikä on
>tuon erotuksen odotusarvo?"

Mukavaa, että keksimäni kysymys herätti jopa vuosijuhlien jälkeistä
mielenkiintoa. Myönnettäköön, että alunperin laskin todennäköisyyden
luettelemalla vaihtoehdot jne. Nähtyäni tuloksen jäin itsekin pohtimaan
miten sen saisi helpommin laskettua ja päädyin seuraavaan.

Vaihtoehtojen määrä on 6*6*6=216, joten kaikkien luettelemiseen
ei-koneellisesti menee liikaa aikaa. Joten jotain muuta pitää keksiä.

Kaksi suurinta silmälukua ovat toisiinsa nähden symmetrisiä, joten
pienimmän odotusarvo on mitä ilmeisimmin se mitä haluan tietää.
Sitä lähden hakemaan seuraavasti:
Pienin on kuusi: 1/6*1/6*1/6=1/216
Pienin on viisi: 2/6*2/6*2/6-1/216=7/216
Pienin on neljä: 3/6*3/6*3/6-7/216=19/216
Pienin on kolme: 4/6*4/6*4/6-19/216=37/216
Pienin on kaksi: 5/6*5/6*5/6-37/216=61/216
Pienin on yksi:  6/6*6/6*6/6-61/216=91/216

Tuosta sitten vain kerrotaan todennäköisyydet havaintoarvoilla:
(1*6+7*5+19*4+37*3+61*2+91*1)/216=441/216
Saimme siis pienimmän luvun odotusarvon.
Kysytyn erotuksen odotusarvon saamme siis kun vähennämme saadun
pienimmän odotusarvon kaksinkertaisena kolmen nopan summan
odotusarvosta, joka on:
(3.5+3.5+3.5)*216/216=2268/216

Täten lopullinen tulos on (2268-2*441)/216=1386/216

Ei yhtä eleganttia kuin Sepon ratkaisu, mutta kyllä tuossakin laskentaa
säästää verrattuna kaikkien vaihtoehtojen luettelemiseen.

Heikki Hyhkö

Vastaukset:

Survo-keskustelupalstan (2001-2013) viestit arkistoitiin aika ajoin sukrolla, joka automaattisesti rakensi viesteistä (yli 1600 kpl) HTML-muotoisen sivukokonaisuuden. Vuoden 2013 alusta Survo-keskustelua on jatkettu entistäkin aktiivisemmin osoitteessa forum.survo.fi. Tervetuloa mukaan!

Etusivu  |  Keskustelu
Copyright © Survo Systems 2001-2013. All rights reserved.
Updated 2013-06-15.